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🔧 Algorithmus-Workflows

Schritt-für-Schritt Funktionsweise beider Ansätze

⚡ T0 Periodenfindung - Workflow

Überblick

Der T0-Algorithmus führt Periodenfindung durch, um Faktoren von zusammengesetzten Zahlen zu ermitteln. Die Implementierung nutzt adaptive ξ-Strategien für verschiedene Zahlentypen und arbeitet mit rationaler Arithmetik.

Ablauf der T0-Faktorisierung
  • 1
    Eingabevalidierung und ξ-Strategieauswahl
    Die Zahl wird kategorisiert (twin_prime, cousin_prime, etc.) und die entsprechende ξ-Strategie gewählt.
    xi_strategy = self._select_optimized_xi_strategy(n) xi_value = self.xi_profiles[xi_strategy]
  • 2
    Triviale Faktor-Prüfung
    Überprüfung auf einfache Faktoren mit kleinen Primzahlen (2, 3, 5, 7) mittels GCD.
    for basis in [2, 3, 5, 7]: if math.gcd(basis, n) > 1: factor = math.gcd(basis, n) return [factor, n // factor]
  • 3
    Periodensuche mit Resonanzbewertung
    Für jede Basis wird systematisch nach Perioden gesucht und diese mittels der gewählten ξ-Strategie bewertet.
    for r in range(2, max_periods): if pow(a, r, n) == 1: # Periode gefunden resonance = self._calculate_resonance(r, xi_value) if resonance > threshold: return self._extract_factors(a, r, n)
  • 4
    Faktor-Extraktion
    Bei gefundener geeigneter Periode wird versucht, über x = a^(r/2) mod n die Faktoren zu extrahieren.
    x = pow(a, period // 2, n) f1 = math.gcd(x - 1, n) f2 = math.gcd(x + 1, n) if 1 < f1 < n: return [f1, n // f1]

ξ-Strategieauswahl im Detail

Entscheidungslogik

WENN |p - q| = 2
→ twin_prime_optimized (ξ = 1/50)
WENN |p - q| ≤ 6
→ cousin_prime (ξ = 1/100)
WENN n > 1000
→ medium_size (ξ = 1/1000)
SONST
→ universal (ξ = 1/100)

🎼 Harmonische Faktorisierung - Workflow

Überblick

Die harmonische Faktorisierung erkennt musikalische Intervalle in Zahlenverhältnissen. Sie verwendet hierarchische 4-Stufen-Suche mit logarithmischer Oktaven-Reduktion und Euler's Gradus Suavitatis.

Ablauf der harmonischen Faktorisierung
  • 1
    Faktoren finden
    Klassische Faktorensuche mittels Trial Division bis √n.
    for i in range(2, int(math.sqrt(n)) + 1): if n % i == 0: return (i, n // i)
  • 2
    Verhältnis berechnen und Oktaven-Reduktion
    Das Verhältnis max(faktoren)/min(faktoren) wird berechnet und auf die Basis-Oktave reduziert.
    ratio = max(factors) / min(factors) while ratio >= 2.0: ratio /= 2.0 octave_shift += 1
  • 3
    Level-Vorhersage
    Basierend auf maximaler Primzahl und Verhältnis-Wert wird das optimale Hierarchie-Level vorhergesagt.
    if max_prime <= 7: level = 1 # BASIS elif max_prime <= 19: level = 2 # ERWEITERT elif max_prime <= 31: level = 3 # KOMPLEX else: level = 4 # ULTRA
  • 4
    Hierarchische Harmoniesuche
    Die Harmoniestufen werden in optimaler Reihenfolge durchsucht, beginnend mit dem vorhergesagten Level.
    for level_idx in search_order: for ratio, interval in level.intervals: cents_deviation = abs(1200 * log2(target_ratio / ratio)) if cents_deviation <= tolerance: return SUCCESS(interval, cents_deviation)
BASIS Level (95%)
Klassische musikalische Intervalle: Unison (1:1), Quinte (3:2), Quarte (4:3), große Terz (5:4), etc. Behandelt die überwiegende Mehrheit der Fälle.
ERWEITERT Level (4%)
Jazz und moderne Harmonien: 11. Oberton (11:8), 13. Oberton (13:8), natürliche Septime (7:4). Für komplexere aber erkennbare Verhältnisse.
KOMPLEX Level (0.9%)
Spektralmusik und Mikrotonales: 29:16, 31:16, 25:16. Behandelt seltene aber mathematisch interessante Verhältnisse.
ULTRA Level (0.1%)
Xenharmonische Experimente: 37:32, 41:32, 61:32. Für sehr große Primzahlen und experimentelle Verhältnisse.

🔄 Optimierungsstrategien beider Ansätze

Mathematische Grenzen-Filterung
Berechnung von Ober- und Untergrenzen für gültige Verhältnisse basierend auf Toleranz, um die Suchzeit zu reduzieren.
Gecachte Berechnungen
LRU-Cache für häufige Oktaven-Reduktionen und logarithmische Distanz-Berechnungen mittels @lru_cache Decorator.
Intelligente Suchreihenfolge
Beide Ansätze verwenden vorhersagebasierte Suchoptimierung: T0 für ξ-Strategien, Harmonic für Level-Reihenfolge.
Rationale Arithmetik
Beide verwenden Fraction-basierte Berechnungen um Rundungsfehler zu vermeiden und deterministische Ergebnisse zu garantieren.

🎯 Unterschiede der Ansätze

T0 Periodenfindung vs. Harmonische Verhältnissuche

T0 Periodenfindung: Sucht nach mathematischen Perioden in modularer Arithmetik und bewertet diese mit ξ-Parametern.

Harmonische Faktorisierung: Analysiert direkt die Verhältnisse zwischen Faktoren und ordnet sie musikalischen Intervallen zu.

Wann welchen Ansatz verwenden?

Für Semiprimes mit bekannten Eigenschaften:
→ T0 Periodenfindung (höhere Präzision)
Für unbekannte Zahlenverhältnisse:
→ Harmonische Faktorisierung (breitere Abdeckung)
Für mathematische Analyse:
→ Beide komplementär verwenden